Calculadora de circuncentro
Halla el circuncentro de un triángulo a partir de sus tres vértices. Introduce los seis valores de coordenadas y lee el circuncentro x e y con el desarrollo completo.
Introduce los tres vértices del triángulo:
Resultado
(2, 1,5)
El circuncentro está en (2, 1,5) con circunradio 2,5
Respuesta rápida
Una calculadora de circuncentro halla el punto equidistante de los tres vértices de un triángulo: el centro de la circunferencia circunscrita. Para los vértices A(0,0), B(4,0), C(0,3), el circuncentro está en (2, 1,5): el punto medio de la hipotenusa. La calculadora usa la fórmula de intersección de mediatrices a partir de las coordenadas de los tres vértices.
El circuncentro: qué es y cómo funciona la fórmula
El circuncentro es el punto equidistante de los tres vértices de un triángulo. Es el centro de la circunferencia circunscrita (circuncírculo), la única circunferencia que pasa por los tres vértices. El circuncentro se halla intersecando dos cualesquiera de las tres mediatrices de los lados del triángulo.
La fórmula del circuncentro a partir de tres vértices
D = 2[x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)] Ox = Ux / D, Oy = Uy / D
- D = 2[x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)]
- Ux = (x₁² + y₁²)(y₂ − y₃) + (x₂² + y₂²)(y₃ − y₁) + (x₃² + y₃²)(y₁ − y₂)
- Uy = (x₁² + y₁²)(x₃ − x₂) + (x₂² + y₂²)(x₁ − x₃) + (x₃² + y₃²)(x₂ − x₁)
- Circuncentro Ox = Ux / D, Oy = Uy / D
Cómo usar la calculadora de circuncentro paso a paso
Datos de entrada
- x₁, y₁: coordenadas del primer vértice
- x₂, y₂: coordenadas del segundo vértice
- x₃, y₃: coordenadas del tercer vértice
Pasos
- Introduce las coordenadas de los tres vértices.
- La calculadora computa D, Ux y Uy.
- Si D = 0, la calculadora informa que los puntos son colineales.
- De lo contrario, muestra el circuncentro (Ox, Oy) y el circunradio R.
- Verifica confirmando que las distancias de O a cada vértice sean iguales.
Ejemplo resuelto de circuncentro con tres vértices
Hallando el circuncentro para los vértices P₁(1, 1), P₂(5, 1), P₃(3, 5).
- Calcula D = 2[1(1−5) + 5(5−1) + 3(1−1)] = 2[−4 + 20 + 0] = 32.
- Calcula Ux = 2(−4) + 26(4) + 34(0) = 96.
- Calcula Uy = 2(−2) + 26(−2) + 34(4) = 80.
- Circuncentro: Ox = 96/32 = 3,0, Oy = 80/32 = 2,5 → (3,0, 2,5).
Circuncentro = (3,0, 2,5). Circunradio R = 2,5.
Cuándo es más relevante el cálculo del circuncentro
El circuncentro se usa en problemas de geometría que requieren la circunferencia circunscrita de un triángulo, en geometría computacional para triangulación de Delaunay, en topografía y en problemas de colocación de antenas.
Supuestos
- Los tres puntos de entrada no son colineales (D ≠ 0).
- Todas las coordenadas son números reales.
- La fórmula produce el circuncentro único.
Limitaciones
- No calcula el incentro, el centroide, ni el ortocentro.
- No verifica que la entrada forme un triángulo no degenerado más allá de comprobar D ≠ 0.
- No calcula la ecuación del circuncírculo más allá de informar el centro y el radio.
En la práctica
Un resultado D = 0 casi siempre significa un error de entrada de datos y no puntos realmente colineales: dos vértices idénticos, o un error tipográfico que coloca dos puntos en la misma línea horizontal o vertical con el tercero. Verifica siempre tus coordenadas contra el enunciado original si la calculadora reporta puntos colineales.
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Preguntas frecuentes: la calculadora de circuncentro
¿Qué es el circuncentro de un triángulo?
El circuncentro es el punto equidistante de los tres vértices de un triángulo. Es el centro de la circunferencia circunscrita: la circunferencia que pasa exactamente por los tres vértices.
¿Dónde está el circuncentro respecto al triángulo?
Para un triángulo acutángulo, el circuncentro está dentro del triángulo. Para un triángulo rectángulo, se ubica en el punto medio de la hipotenusa. Para un triángulo obtusángulo, se ubica fuera del triángulo.
¿En qué se diferencia el circuncentro del centroide?
El centroide es el promedio aritmético de las tres coordenadas de los vértices: ((x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3). Es el centro de masa del triángulo. El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita.
¿Qué significa D = 0 en la fórmula?
D = 0 significa que los tres puntos son colineales: se ubican sobre la misma línea recta y no forman un triángulo. No existe circunferencia circunscrita para tres puntos colineales.
¿Qué es el circunradio?
El circunradio R es el radio de la circunferencia circunscrita, igual a la distancia del circuncentro O a cualquiera de los tres vértices: R = √((Ox − x₁)² + (Oy − y₁)²).
Fuentes
Última actualización: . Revisado para verificar su exactitud con la fórmula anterior.