Calculadora de división larga de polinomios
Divide un polinomio a partir de dos listas de coeficientes, y observa el cociente, el resto y una comprobación directa que recupera el dividendo.
Separados por comas, por ejemplo 1, 0, 2, 5 para x³ + 2x + 5.
Separados por comas, por ejemplo 1, 1 para x + 1.
Resultado
x^2 - x + 3 R 2
x^3 + 2x + 5 dividido entre x + 1 es x^2 - x + 3 con resto 2
Respuesta rápida
Una calculadora de división larga de polinomios divide un polinomio entre otro. La herramienta da un cociente y un posible resto. Introduce los coeficientes de la potencia más alta a la constante, con 0 para cada potencia ausente. Para [1, 0, 2, 5] ÷ [1, 1], el cociente es x² − x + 3 y el resto es 2.
Qué hace la división larga de polinomios y cómo funciona
La división larga de polinomios repite un conjunto corto de pasos. Divide los términos principales. Coloca la respuesta en el cociente. Multiplica el divisor por ese nuevo término. Resta, baja el siguiente término y repite. Detente cuando el resto tenga menor grado que el divisor. La herramienta toma listas de números, no términos con x. Cada lista va de la potencia más alta a la constante. Usa 0 cuando falte una potencia. Así, x³ + 2x + 5 usa 1, 0, 2, 5. El cero ocupa el lugar de x². Esta fila mantiene cada término en su lugar. La fila también reduce el riesgo de un error de entrada de texto. Revisa las filas antes de ejecutar la herramienta. Un desplazamiento de una posición cambia cada término después del hueco.
La fórmula detrás de la división larga de polinomios
El algoritmo de división larga de polinomios verifica el cociente y el resto usando la relación fundamental de división.
- Dividendo = Divisor × Cociente + Resto.
- P(x) = D(x)Q(x) + R(x).
P(x): el polinomio dividendo.
D(x): el polinomio divisor, distinto de cero.
Q(x): el polinomio cociente.
R(x): el polinomio resto.
El grado de R(x) debe ser menor que el grado de D(x), a menos que el resto sea 0.
Cómo usar listas de coeficientes para dividir polinomios
Datos de entrada
- Coeficientes del dividendo: introduce números del grado más alto al término constante, separados por comas.
- Coeficientes del divisor: usa el mismo orden de grado descendente, separado por comas.
- Potencias ausentes: introduce 0 como marcador de posición en la lista de coeficientes.
- Separador: coloca una coma entre cada coeficiente.
Pasos
- Escribe ambos polinomios en potencias descendentes de x.
- Inserta un cero para cada potencia ausente.
- Introduce el dividendo y el divisor como listas de coeficientes separadas por comas.
- Calcula para ver el cociente y el resto.
- Comprueba el resultado con Divisor × Cociente + Resto.
Ejemplo práctico completo de división larga de polinomios
Dividendo x³ + 2x + 5, divisor x + 1. Listas de coeficientes: dividendo [1, 0, 2, 5], divisor [1, 1].
- Divide los términos principales: x³ ÷ x = x².
- Multiplica: x²(x + 1) = x³ + x².
- Resta: (x³ + 0x² + 2x) − (x³ + x²) = −x² + 2x.
- Divide los términos principales: −x² ÷ x = −x.
- Multiplica: −x(x + 1) = −x² − x.
- Resta: (−x² + 2x) − (−x² − x) = 3x.
- Baja el 5 para obtener 3x + 5.
- Divide los términos principales: 3x ÷ x = 3.
- Multiplica: 3(x + 1) = 3x + 3.
- Resta: (3x + 5) − (3x + 3) = 2.
El cociente es x² − x + 3 y el resto es 2. (Comprobación: (x + 1)(x² − x + 3) + 2 = x³ + 2x + 5). No se usa redondeo porque todos los coeficientes son enteros exactos.
Dónde es más útil la división larga de polinomios en álgebra
Usa la división larga para reducir formas racionales, probar factores y verificar trabajo de álgebra. La división sintética es más corta para x − c. La división larga funciona con más formas de divisor. Los mismos pasos funcionan a mano.
Para otras calculadoras de factorización algebraica y polinomios, visita el hub de calculadoras de matemáticas y consulta conceptos en el glosario.
Supuestos
- Los coeficientes siguen el orden de grado descendente.
- Un cero marca cada potencia ausente.
- El divisor no es cero.
- El grado del dividendo es al menos el grado del divisor para un cociente distinto de cero.
- Se mantienen valores exactos cuando la entrada lo permite.
Limitaciones
- Los campos de entrada aceptan coeficientes, no expresiones como x^2 + 3x.
- Un marcador de cero faltante cambia el polinomio y la respuesta.
- Los coeficientes decimales pueden dar valores redondeados en la visualización.
- La calculadora no factoriza el cociente ni halla raíces.
En la práctica
Un cero faltante es el error de entrada principal. Escribe cada potencia desde el grado más alto hasta x⁰. Luego copia el número en cada casilla. Mantén un 0 en cada casilla vacía.
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Preguntas sobre división larga de polinomios y respuestas
¿Por qué los términos faltantes de un polinomio deben usar un cero?
Un cero ocupa el lugar de cualquier potencia ausente de x en la lista. Sin ese cero, cada número posterior se desplaza a la potencia equivocada. La lista entonces representa un polinomio distinto. Esto mantiene alineados todos los términos posteriores.
¿Cuándo la división de polinomios no tiene resto?
La división no tiene resto cuando el divisor es un factor del dividendo. La última resta da 0. El cociente entonces multiplica de vuelta al dividendo. La comprobación no deja ningún término sobrante.
¿Cómo puedo comprobar un resultado de división de polinomios?
Comprueba la división de polinomios multiplicando el divisor por el cociente, y luego sumando el resto. Una comprobación correcta da el dividendo original. Cada potencia de x debe tener el mismo número. La comprobación debe coincidir término por término.
¿La división sintética es lo mismo que la división larga?
La división sintética es un método corto de coeficientes para un divisor de la forma x − c. La división larga funciona también con divisores lineales o de mayor grado. Ambos métodos deben dar el mismo cociente para x − c.
¿Qué pasa si el grado del divisor es mayor?
El cociente es 0 cuando el grado del divisor es mayor que el grado del dividendo. El dividendo completo queda como el resto. Ningún paso de división puede eliminar su término principal en ese caso.
Fuentes
Última actualización: . Revisado para verificar su exactitud con la fórmula anterior.