Calculadora de aproximación trapezoidal
Estima una integral definida usando la regla trapezoidal con 4 subintervalos. Proporciona 5 valores de función en puntos igualmente espaciados.
Introduce f(x) en 5 puntos igualmente espaciados de a a b (4 subintervalos):
Resultado
22
La integral de 0 a 4 es aproximadamente 22
Respuesta rápida
Una calculadora de aproximación trapezoidal aplica T = (h/2)[y₀ + 2y₁ + 2y₂ + 2y₃ + y₄] para estimar una integral, con h = (b − a)/4. Introduces el límite inferior a, el límite superior b, y los valores de la función en puntos x espaciados. Para y-valores 1, 4, 9, 16, 25: T = 42.00.
Qué necesita esta calculadora y cómo preparar valores
Al igual que la calculadora de la regla de Simpson, esta calculadora no acepta una fórmula matemática escrita. Requiere cinco valores de función precalculados en puntos x igualmente espaciados a lo largo de tu intervalo. Calcula primero h = (b − a)/4, y luego enumera x₀ = a, x₁ = a+h, x₂ = a+2h, x₃ = a+3h, x₄ = b. Evalúa tu función en cada uno de estos cinco puntos x y anota los resultados como y₀ a y₄. Introduce esos cinco valores junto con a y b. La calculadora aplica la ponderación trapezoidal y devuelve la aproximación T.
La fórmula trapezoidal para exactamente 4 subintervalos
T = (h/2)[y₀ + 2y₁ + 2y₂ + 2y₃ + y₄] ancho del subintervalo: h = (b − a) / 4
- T = (h/2)[y₀ + 2y₁ + 2y₂ + 2y₃ + y₄]
- h = (b − a) / 4
- Patrón de ponderación: 1, 2, 2, 2, 1
Cómo usar la calculadora de aproximación trapezoidal
Datos de entrada
- a: límite inferior de integración
- b: límite superior de integración
- y₀ a y₄: los valores de tu función en los cinco puntos x igualmente espaciados
Pasos
- Fija tus límites de integración a y b.
- Calcula h = (b − a) / 4.
- Evalúa tu función en x = a, a+h, a+2h, a+3h, b para obtener y₀ a y₄.
- Introduce a, b y los cinco valores y.
- Lee la estimación trapezoidal T.
Ejemplo resuelto de aproximación trapezoidal: ∫₀⁸ √x dx
Estimando la integral de f(x) = √x de a = 0 a b = 8 con h = 2.
- Calcula los puntos x: x₀ = 0, x₁ = 2, x₂ = 4, x₃ = 6, x₄ = 8.
- Evalúa f(x) = √x: y₀ = 0.0000, y₁ = 1.4142, y₂ = 2.0000, y₃ = 2.4495, y₄ = 2.8284.
- Aplica la fórmula: T = (2/2)[0 + 2(1.4142) + 2(2.0000) + 2(2.4495) + 2.8284] = 14.56.
La estimación trapezoidal es T = 14.56 (exacto = 15.09, error = 0.53, es decir, un 3.5 %). Para mayor precisión con los mismos datos, la regla de Simpson da 15.05 (error menor al 0.3 %).
Cuándo usar la regla trapezoidal o la regla de Simpson
Usa la regla trapezoidal cuando los valores de la función son datos medidos en intervalos fijos y la función no se puede evaluar en puntos adicionales. Úsala también cuando una estimación aproximada y conservadora sea aceptable. Para funciones suaves y computables, prefiere la regla de Simpson para mayor precisión.
Supuestos
- Exactamente 4 subintervalos iguales (5 valores de función).
- La función es continua en [a, b].
- Proporcionas valores en los puntos x correctos e igualmente espaciados.
Limitaciones
- Menos precisa que la regla de Simpson para funciones suaves.
- No se generaliza a un número arbitrario de subintervalos.
- No puede evaluar una fórmula escrita; requiere valores y precalculados en los cinco puntos x fijos.
En la práctica
La aproximación trapezoidal es el método estándar en física experimental y análisis de datos de ingeniería cuando la función a integrar no es una fórmula conocida sino una secuencia de valores medidos. El error depende de cuán curvada esté la función entre puntos; para segmentos casi lineales, la regla trapezoidal es muy precisa. Compara siempre el resultado trapezoidal con una estimación de la regla de Simpson si tus datos lo permiten.
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Preguntas frecuentes sobre aproximación trapezoidal
¿En qué se diferencia la regla trapezoidal de la regla de Simpson?
La regla trapezoidal aproxima cada subintervalo con una línea recta (forma de trapecio), mientras que la regla de Simpson ajusta una curva cuadrática a través de cada par de subintervalos adyacentes. Para funciones suaves, la regla de Simpson es más precisa (error de orden h⁴ frente a h² de la regla trapezoidal).
¿Por qué el patrón de ponderación es 1, 2, 2, 2, 1?
Los pesos de los extremos son 1 porque cada extremo pertenece a un solo trapecio. Cada punto interior pertenece a dos trapecios adyacentes, así que su contribución se cuenta dos veces, dando un peso de 2.
¿Puedo usar esta regla para más de 4 subintervalos?
Esta calculadora usa exactamente 4 subintervalos (5 puntos). Para más subintervalos, aplica la regla trapezoidal compuesta con n subintervalos usando el patrón de ponderación 1, 2, 2, ..., 2, 1 y h = (b−a)/n.
¿La regla trapezoidal siempre es menos precisa que la regla de Simpson?
Para funciones suaves, sí. La regla de Simpson tiene un límite de error significativamente menor para el mismo número de puntos. Sin embargo, para funciones que solo son suaves por partes, la ventaja teórica de la regla de Simpson puede no manifestarse.
¿Cuál es el límite de error de la regla trapezoidal?
El límite de error de la regla trapezoidal compuesta con n subintervalos es |E| ≤ (b−a)³ × máx|f''(x)| / (12n²). Para 4 subintervalos, n = 4, así que |E| ≤ (b−a)³ × máx|f''| / 192.
Fuentes
Última actualización: . Revisado para verificar su exactitud con la fórmula anterior.