Calculadora de la regla de Simpson
Estima una integral definida usando la regla 1/3 de Simpson con 4 subintervalos. Introduce 5 valores de la función en puntos igualmente espaciados.
Introduce f(x) en 5 puntos igualmente espaciados de a a b (4 subintervalos):
Resultado
21,3333
La integral de 0 a 4 es aproximadamente 21,3333
Respuesta rápida
La calculadora de la regla de Simpson aplica S = (h/3)[y₀ + 4y₁ + 2y₂ + 4y₃ + y₄] para estimar una integral, con h = (b − a)/4. Introduces el límite inferior a, el límite superior b, y cinco valores de la función en puntos x espaciados. Para y-valores 1, 4, 9, 16, 25, la estimación es 41.33.
Qué necesita esta calculadora y cómo preparar los valores
La regla de Simpson no acepta una expresión o fórmula matemática escrita. Toma cinco números: los valores de tu función evaluados en cinco puntos x igualmente espaciados a lo largo del intervalo [a, b]. Debes calcular esos valores tú mismo antes de introducirlos. Los cinco puntos x son x₀ = a, x₁ = a + h, x₂ = a + 2h, x₃ = a + 3h, x₄ = b, donde h = (b − a)/4. Introduce esos cinco números en la calculadora junto con a y b.
La fórmula de la regla de Simpson con 4 subintervalos
S = (h/3)[y₀ + 4y₁ + 2y₂ + 4y₃ + y₄] ancho del subintervalo: h = (b − a) / 4
- S = (h/3)[y₀ + 4y₁ + 2y₂ + 4y₃ + y₄]
- h = (b − a) / 4
- Patrón de ponderación: 1, 4, 2, 4, 1
Cómo usar la calculadora de la regla de Simpson hoy
Datos de entrada
- a: el límite inferior de integración
- b: el límite superior de integración
- y₀ a y₄: los valores de tu función en los cinco puntos x igualmente espaciados
Pasos
- Elige tus límites de integración a y b.
- Calcula h = (b − a) / 4.
- Evalúa tu función en x = a, a+h, a+2h, a+3h y b para obtener y₀ a y₄.
- Introduce a, b y los cinco valores y en la calculadora.
- Lee la aproximación S; compárala con tu integral exacta si la conoces para evaluar la precisión.
Ejemplo resuelto de la regla de Simpson: ∫₁⁵ x² dx
Estimando la integral de f(x) = x² de a = 1 a b = 5 con h = 1.
- Calcula los puntos x: x₀ = 1, x₁ = 2, x₂ = 3, x₃ = 4, x₄ = 5.
- Evalúa f(x) = x²: y₀ = 1, y₁ = 4, y₂ = 9, y₃ = 16, y₄ = 25.
- Aplica la fórmula: S = (1/3)[1 + 4(4) + 2(9) + 4(16) + 25] = (1/3)(124) = 41.33.
La regla de Simpson da 41.33, que coincide con la integral analítica exacta 124/3 = 41.33 porque la regla de Simpson es exacta para polinomios de grado hasta 3.
Cuándo da la regla de Simpson la estimación más precisa
La regla de Simpson funciona mejor con funciones suaves y bien comportadas en intervalos moderados. El límite de error para el caso de 4 subintervalos es proporcional a la cuarta derivada de la función. Usa esta calculadora para funciones suaves cuando necesites una estimación rápida sin software.
Supuestos
- Exactamente 4 subintervalos iguales (5 puntos); esta es la regla 1/3 de Simpson estándar de 4 subintervalos.
- La función es suave (continua y diferenciable) en [a, b].
- Proporcionas los valores de la función en los puntos x correctos e igualmente espaciados.
Limitaciones
- Solo usa 4 subintervalos; no se generaliza a un n arbitrario.
- No puede evaluar una fórmula escrita; requiere valores y precalculados en los cinco puntos x fijos.
- Para funciones con cuartas derivadas grandes, la precisión puede ser pobre.
En la práctica
El error más común con la regla de Simpson es introducir los valores y en las posiciones x incorrectas. Los cinco puntos x deben estar igualmente espaciados, con espaciado h = (b−a)/4. Si evalúas tu función en puntos no igualmente espaciados, la fórmula de suma ponderada no aplica y el resultado será incorrecto. Calcula siempre h primero y enumera los cinco valores de x antes de evaluar tu función.
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Preguntas frecuentes sobre la regla de Simpson en cálculo
¿Por qué esta calculadora necesita valores y en lugar de una fórmula?
Una calculadora basada en navegador no puede analizar y evaluar expresiones matemáticas arbitrarias. Evalúas tu función en los cinco puntos x requeridos por adelantado usando una calculadora, una tabla o cualquier herramienta matemática, e introduces los números resultantes. La calculadora entonces aplica la fórmula de suma ponderada.
¿Qué tan precisa es la regla de Simpson comparada con la regla trapezoidal?
Para funciones suaves, la regla de Simpson es significativamente más precisa. La regla trapezoidal tiene un error de orden h², mientras que la regla de Simpson tiene un error de orden h⁴. En la práctica, para el mismo número de evaluaciones de función, la regla de Simpson suele producir un error entre 10 y 100 veces menor que la regla trapezoidal en funciones suaves y no oscilantes.
¿Qué significa el 1/3 en la regla 1/3 de Simpson?
El 1/3 se refiere al coeficiente h/3 en la fórmula. Distingue esta forma de la regla 3/8 de Simpson, que usa 3 subintervalos con coeficiente 3h/8 y ponderación 1, 3, 3, 1. La regla 1/3 es la versión más comúnmente enseñada y usada para un número par de subintervalos.
¿Cuándo debería usar más de 4 subintervalos?
Cuando la función varía rápidamente en el intervalo o la precisión requerida es alta, usa la regla de Simpson compuesta con más subintervalos (n debe ser par). El error disminuye a medida que n aumenta: duplicar n reduce el error por un factor de 16. Para esta calculadora, usa 4 subintervalos cuando una estimación aproximada sea suficiente para una función suave.
¿Puedo usar esta calculadora para integrales impropias?
No. La regla de Simpson requiere límites finitos y un valor de función finito en cada punto x, incluidos los extremos. Las integrales impropias con límites infinitos o singularidades en los extremos requieren técnicas especiales como truncamiento, sustitución o cuadratura gaussiana.
Fuentes
Última actualización: . Revisado para verificar su exactitud con la fórmula anterior.