Cómo calcular el factor de escala de una dilatación
Por El equipo de Calcumatix Revisado por Revisión editorial de Calcumatix 4 min de lectura
Respuesta rápida
El factor de escala k es la medida de la imagen dividida entre la medida de la figura original: k = longitud de imagen ÷ longitud original. Si un lado pasa de 4 cm a 10 cm, k = 10 ÷ 4 = 2,5. Un valor mayor que 1 agranda la figura.
Una dilatación es una transformacion geométrica que agranda o reduce una figura conservando su forma y las relaciones proporcionales entre todos sus lados y ángulos. El factor de escala, k, es el número que describe cuanto cambio el tamaño: es la razón entre una longitud de la figura nueva, la imagen, y la longitud correspondiente de la figura original, la preimagen. Para hallarlo, compara un par de medidas correspondientes, ya sean lados o distancias desde el centro de dilatación.
¿Qué es un factor de escala en geometría?
En geometría, el factor de escala de una dilatación es una razón constante k que describe la relación entre cada par de longitudes correspondientes en la imagen y la preimagen. Como una dilatación conserva la forma, todos los ángulos permanecen iguales y todos los lados cambian por el mismo factor. Por eso basta con un par de longitudes correspondientes para encontrar k. Cualquier otro par debe producir la misma razón.
Los tres casos:
- k > 1: ampliacion. La imagen es más grande que la preimagen. Un factor de escala 3 triplica todas las dimensiones lineales.
- 0 < k < 1: reduccion. La imagen es más pequeña que la preimagen. Un factor de escala 0,5 reduce a la mitad todas las dimensiones lineales.
- k < 0: dilatación negativa. La imagen aparece al lado opuesto del centro de dilatación y también se refleja a través de ese punto. Es menos común en geometría introductoria, pero aparece en problemas de coordenadas.
Método 1: factor de escala desde longitudes de lados
Cuando conoces las longitudes de lados de la imagen y de la preimagen, el factor de escala se obtiene dividiendo cualquier lado de la imagen entre el lado correspondiente de la preimagen.
Fórmula: k = longitud del lado de la imagen ÷ longitud del lado de la preimagen
Condición: divide siempre imagen entre preimagen, no al revés. La razón de preimagen a imagen da el factor k. La razón inversa da 1/k.
Ejemplo con longitudes de lados
Problema: el triángulo ABC tiene lados de 3 cm, 4 cm y 5 cm. Después de una dilatación, el triángulo A’B’C’ tiene lados de 6 cm, 8 cm y 10 cm. Encuentra el factor de escala.
Paso 1: identifica un par de lados correspondientes Lado de preimagen AB = 3 cm Lado de imagen A’B’ = 6 cm
Paso 2: divide imagen entre preimagen k = 6 ÷ 3 = 2
Comprobación con un segundo par: BC = 4 cm, B’C’ = 8 cm. k = 8 ÷ 4 = 2. Es consistente.
Resultado: el factor de escala es k = 2. El triángulo se amplio al doble de su tamaño original.
Usa la calculadora de dilatación para calcular coordenadas y factores de escala en dilataciones geométricas.
Método 2: factor de escala desde coordenadas
Cuando se conocen las coordenadas del centro de dilatación y de puntos correspondientes, calcula la distancia desde el centro hasta cada punto correspondiente y divide la distancia de la imagen entre la distancia de la preimagen.
Caso simplificado, centro en el origen (0, 0): Si el centro de dilatación es el origen, divide cualquier coordenada de la imagen entre la coordenada correspondiente de la preimagen: k = x de imagen ÷ x de preimagen, o y de imagen ÷ y de preimagen
Caso general, centro fuera del origen: Usa la fórmula de distancia para cada punto desde el centro y después divide.
Ejemplo con coordenadas y centro en el origen
Problema: el punto P está en (2, 3). Su imagen P’ después de una dilatación con centro en el origen está en (5, 7,5). Encuentra el factor de escala.
Paso 1: divide las coordenadas x k = 5 ÷ 2 = 2,5
Paso 2: comprueba con las coordenadas y k = 7,5 ÷ 3 = 2,5. Es consistente.
Resultado: el factor de escala es k = 2,5.
Ejemplo con coordenadas y centro fuera del origen
Problema: el centro de dilatación está en C = (1, 1). El punto de preimagen P = (3, 5). El punto de imagen P’ = (5, 9). Encuentra el factor de escala.
Paso 1: encuentra el vector del centro a la preimagen (3 - 1, 5 - 1) = (2, 4)
Paso 2: encuentra el vector del centro a la imagen (5 - 1, 9 - 1) = (4, 8)
Paso 3: divide una componente del vector de imagen entre la correspondiente de preimagen k = 4 ÷ 2 = 2, o k = 8 ÷ 4 = 2
Resultado: el factor de escala es k = 2.
¿Cómo afecta el factor de escala a área y volumen?
El factor de escala afecta de manera distinta las medidas lineales, el área y el volumen. Esta diferencia causa muchos errores.
| Medida | Efecto del factor de escala k |
|---|---|
| Longitud / perímetro | Se multiplica por k |
| Área | Se multiplica por k² |
| Volumen | Se multiplica por k³ |
Para el triángulo ampliado con k = 2, el perímetro se duplica, pero el área se cuadruplica, porque 2² = 4. Si el área original era 6 cm², el área nueva es 24 cm². Por eso los modelos a escala exigen interpretación cuidadosa: un auto a escala 1:10 tiene lados 10 veces más pequeños, pero su área transversal es 100 veces menor y su volumen es 1.000 veces menor.
Fuentes
- Khan Academy: Dilations and Scale Factors, ejercicios de dilatación en el plano coordenado y explicación conceptual.
- OpenStax Geometry, Similarity and Proportions, contexto de razones, semejanza y escala.
Consulta todas las herramientas de geometría y álgebra en el hub de calculadoras matemáticas.
Preguntas frecuentes
¿Cómo saber si el factor de escala agranda o reduce?
Un factor mayor que 1 produce una ampliacion. Un factor entre 0 y 1 produce una reduccion. Un factor igual a 1 no cambia el tamaño y representa una transformacion identidad.
¿Cuál es la diferencia entre factor de escala y razón?
Son el mismo cálculo expresado de forma distinta. Un factor de escala 2,5 equivale a una razón 2,5:1 de imagen a figura original. En geometría suele escribirse como un solo número k.
¿El factor de escala puede ser una fracción?
Si. Un factor de 1/3 significa que la imagen mide un tercio de la figura original en cada dimensión lineal. Las fracciones son comunes en dilataciones de reduccion.
¿Todos los lados correspondientes dan el mismo factor?
Si, en una dilatación verdadera. Si dos pares de lados correspondientes dan razones distintas, la transformacion no es una dilatación pura o hay un error de medición.