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Calculadora de espacio nulo

Halla todos los vectores que una matriz de 2 por 2 envía a cero, luego observa los pasos por filas y la base del espacio nulo para verificación introductoria.

Matriz [[a, b], [c, d]]

Resultado

(-2, 1)

El espacio nulo de [[1, 2], [2, 4]] está generado por (-2, 1)

Respuesta rápida

Una calculadora de espacio nulo resuelve el sistema homogéneo Ax = 0. Para A = [[1, 2], [2, 4]], las filas son linealmente dependientes. Sea x2 = t, entonces x1 = -2t y x = t(-2, 1). Así, (-2, 1) es un vector base. Cuando det(A) no es cero, la invertibilidad deja solo x = (0, 0).

Cómo la calculadora de 2 por 2 halla un vector base

El espacio nulo es el conjunto de todos los vectores de entrada que una matriz envía a cero. Esta herramienta funciona con una matriz de 2 por 2. La herramienta escribe dos ecuaciones a partir de Ax = 0 y las reduce a la fila clave. Si det(A) no es cero, la matriz tiene inversa. Solo el vector cero puede funcionar. Si det(A) es cero, una fila puede ser una copia escalada de la otra. Un valor queda entonces libre. Fija ese valor como t y resuelve el otro. La respuesta es t multiplicado por un vector no nulo. Ese vector genera una línea que pasa por el origen. La matriz pequeña mantiene cada paso por filas fácil de ver. Una comprobación final multiplica A por el vector base y debe dar (0, 0).

Las matemáticas del espacio nulo de una matriz 2 por 2

Para hallar la base de un espacio nulo, la calculadora resuelve el sistema homogéneo Ax = 0 usando reducción por filas y variables libres.

  • Resuelve Ax = 0 para A = [[a, b], [c, d]] y x = (x1, x2).
  • Determinante: det(A) = ad − bc.
  • Si det(A) = 0, halla un parámetro t y expresa los vectores base.
  • Si det(A) no es cero, la única solución es el vector cero.

a, b, c, d: los elementos de la matriz de 2 por 2.

det(A): el determinante de la matriz.

Una base enumera vectores de dirección independientes cuyas combinaciones lineales producen cada vector del espacio nulo.

Cómo usar una calculadora de espacio nulo en 5 pasos

Datos de entrada

  • a y b: introduce la primera fila de la matriz.
  • c y d: introduce la segunda fila de la matriz.

Pasos

  1. Introduce los cuatro elementos de la matriz.
  2. Calcula el determinante.
  3. Lee la ecuación homogénea reducida.
  4. Identifica el parámetro libre cuando el determinante es cero.
  5. Verifica cada vector base con A por v.

Ejemplo de base del espacio nulo de una matriz singular

Matriz A = [[1, 2], [2, 4]].

  1. Halla el determinante: det(A) = (1 × 4) − (2 × 2) = 0.
  2. Escribe Ax = 0: x1 + 2x2 = 0 y 2x1 + 4x2 = 0.
  3. Conserva solo la ecuación independiente: x1 + 2x2 = 0.
  4. Sea el parámetro libre x2 = t. Entonces x1 = −2t.
  5. Escribe el vector solución: x = (−2t, t) = t(−2, 1).

La base de Nulo(A) es gen{(−2, 1)}. Se usa aritmética exacta, así que no se necesita redondeo. Comprobado: A(−2, 1) = (0, 0).

¿Es adecuada esta herramienta para trabajo de clase?

Usa esta herramienta para una primera tarea de espacio nulo con una matriz de 2 por 2. El trabajo por filas claro también ayuda a verificar un vector hallado a mano.

Para otras herramientas de álgebra matricial, determinantes y sistemas lineales, visita el hub de calculadoras de matemáticas y consulta conceptos en el glosario.

Supuestos

  • La matriz es de 2 por 2.
  • Los elementos son números reales.
  • La tarea es Ax = 0.
  • Cualquier escalado no nulo da un vector base equivalente.

Limitaciones

  • La calculadora no maneja matrices mayores de 2 por 2.
  • Se planean matrices más grandes, pero no están disponibles ahora.
  • Las entradas decimales pueden ocultar dependencia exacta por redondeo.
  • Una base no es única, ya que vectores de dirección escalados generan la misma línea.

En la práctica

El vector cero pertenece a todo espacio nulo pero no puede servir como vector base. Una base válida requiere vectores no nulos, linealmente independientes, que generen todo el conjunto solución. Usa la forma de variable libre, y luego verifica cada dirección por multiplicación de matrices.

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Guías relacionadas

Preguntas sobre espacio nulo con respuestas resueltas

¿Qué representa una base del espacio nulo?

Una base del espacio nulo da las direcciones principales que la matriz envía a cero. Cada vector en el espacio nulo es una suma escalada de esos vectores base. Para una matriz de 2 por 2 de rango uno, un vector no nulo genera la línea.

¿Por qué un determinante no nulo da solo cero?

Un determinante no nulo significa que una matriz de 2 por 2 es invertible sobre los números reales. Aplica la inversa a ambos lados de Ax = 0. El resultado es x = 0, así que ningún vector no nulo puede estar en el espacio nulo.

¿El espacio nulo es lo mismo que el núcleo?

Espacio nulo y núcleo son dos nombres para el mismo conjunto solución en álgebra matricial. Ambos significan todos los vectores x que resuelven Ax = 0. La mayoría de los textos de álgebra lineal usan los términos de la misma manera.

¿Cómo compruebo un vector del espacio nulo a mano?

Comprueba un vector del espacio nulo multiplicando la matriz por ese vector propuesto. Un vector válido debe dar cero en ambas filas. Para (-2, 1), las dos comprobaciones por fila son (1 × -2) + (2 × 1) = 0 y (2 × -2) + (4 × 1) = 0.

Fuentes

Última actualización: . Revisado para verificar su exactitud con la fórmula anterior.